\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十一章\quad 曲线积分与曲面积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第六节\quad 高斯公式 \textbullet 通量与散度}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}



\section{高斯公式}

\begin{frame}{高斯公式}

格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯(Gauss)公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：
\pause
\begin{theorem*}
设空间闭区域 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成， 若函数 $P(x, y, z)$, $Q(x, y, z)$ 与 $R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数， 则有
\[\tag{6-1}
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V=\oiint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
\]
\pause
或
\[\tag{6-1'}
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V=\oiint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S
\]
这里 $\Sigma$ 是 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧， $\cos \alpha, \cos \beta$ 与 $\cos \gamma$ 是 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的法向量的方向余弦。公式 (6-1) 或 (6-1') 叫做\emph{高斯公式}。
\end{theorem*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}
    \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
      \centering
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-44}
  \caption*{图 11-25}
\end{wrapfigure}
由公式 (5-9) 可知， 公式 (6-1) 及 (6-1') 的右端是相等的，因此这里只要证明公式 (6-1) 就可以了。

设闭区域 $\Omega$ 在 $x O y$ 面上的投影区域为 $D_{x y}$. 假定穿过 $\Omega$ 内部且平行于 $z$ 轴的直线与 $\Omega$ 的边界曲面 $\Sigma$ 的交点恰好是两个。 这样， 可设 $\Sigma$ 由 $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}$和 $\Sigma_{3}$ 三部分组成(图11-25), 其中 $\Sigma_{1}$ 和 $\Sigma_{2}$ 分别由方程 $z=z_{1}(x, y)$ 和 $z=z_{2}(x, y)$ 给定， 这里 $z_{1}(x, y) \leqslant z_{2}(x, y)$, $\Sigma_{1}$ 取下侧， $\Sigma_{2}$ 取上侧， $\Sigma_{3}$ 是以
 $D_{x y}$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面上的一部分， 取外侧。

     根据三重积分的计算法， 有
       \begin{align*}
         \iiint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} V & =\iint_{D_{x y}}\left\{\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} z\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
         & =\iint_{D_{x y}}\left\{R\left[x, y, z_{2}(x, y)\right]-R\left[x, y, z_{1}(x, y)\right]\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .\tag{6-2}
       \end{align*}
   \end{proof}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{proof}[续]
    根据曲面积分的计算法，有
    \[
        \begin{aligned}
            & \iint_{\Sigma_{1}} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} R\left[x, y, z_{1}(x, y)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \\
            & \iint_{\Sigma_{2}} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} R\left[x, y, z_{2}(x, y)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
        \end{aligned}
    \]
  因为 $\Sigma_{3}$ 上任意一块曲面在 $x O y$ 面上的投影为零， 所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知
  \[
  \iint_{\Sigma_{3}} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0
\]
把以上三式相加，得
\[\tag{6-3}
\oiint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}}\left\{R\left[x, y, z_{2}(x, y)\right]-R\left[x, y, z_{1}(x, y)\right]\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]
比较 (6-2) 与 (6-3) 两式， 得
\[
\iiint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} V=\oiint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]
   \end{proof}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{proof}[续]

如果穿过 $\Omega$ 内部且平行于 $x$ 轴的直线以及平行于 $y$ 轴的直线与 $\Omega$ 的边界曲面 $\Sigma$的交点也都恰好是两个，那么类似地可得
\[
\iiint_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} V=\oiint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z, \quad \iiint_{\Omega} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} V=\oiint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x,
\]
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(6-1).
\end{proof}

~

 在上述证明中， 我们对闭区域 $\Omega$ 作了这样的限制， 即穿过 $\Omega$ 内部且平行于坐标轴的直线与 $\Omega$ 的边界曲面 $\Sigma$ 的交点恰好是两点。 如果 $\Omega$ 不满足这样的条件， 可以引进几张辅助曲面把 $\Omega$ 分为有限个闭区域，使得每个闭区域满足这样的条件， 并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反， 相加时正好抵消， 因此公式(6-1) 对于这样的闭区域仍然是正确的。
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  利用高斯公式计算曲面积分
  \[
  \oiint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
\]
其中 $\Sigma$ 为柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $z=0, z=3$ 所围成的空间闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧(图 11-26).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.2\textwidth}
    \centering
  \includegraphics[max width=.2\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-45}
\caption*{图 11-26}
\pause
\end{wrapfigure}

因 $P=(y-z) x, Q=0, R=x-y$,
\[
\frac{\partial P}{\partial x}=y-z, \quad \frac{\partial Q}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial z}=0
\]
利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分， 得
\[
\begin{aligned}
  \oiint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z&= \iiint_{\Omega}(y-z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\\
  &= 0-\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
  = -\frac{9 \pi}{2},
\end{aligned}
\]
其中 $\iiint_{\Omega} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ 由积分区域及被积函数的对称性得出。
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  利用高斯公式计算曲面积分
  \[
  \iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
\]
其中 $\Sigma$ 为锥面 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 介于平面 $z=0$ 及平面 $z=h$ ($h>0$) 之间的部分的下侧， $\cos \alpha$, $\cos \beta$ 与 $\cos \gamma$ 是 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的法向量的方向余弦。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
因曲面 $\Sigma$ 不是封闭曲面， 故不能直接利用高斯公式。 若设 $\Sigma_{1}$ 为 $z=$ $h\left(x^{2}+y^{2} \leqslant h^{2}\right)$ 的上侧， 则 $\Sigma$ 与 $\Sigma_{1}$ 一起构成一个封闭曲面， 记它们围成的空间闭区域为 $\Omega$, 利用高斯公式，便得
\[
  \begin{aligned}
    & \oiint_{\Sigma+\Sigma_{1}}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\
  = & 2 \iiint_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} V=2 \iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{h}(x+y+z) \mathrm{d} z,
\end{aligned}
\]
其中 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant h^{2}\right\}$. 
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
    利用对称性可得
  \[
    \iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{h}(x+y) \mathrm{d} z=0,
\]
因为若把$D_{xy}$分别在第一和第二象限、第三和第四象限的部分记为$D_1, D_2$, 则
\[
  \iint_{D_1} (x+y)(h-\sqrt{x^2+y^2}) d\sigma =  -\iint_{D_2} (x+y)(h-\sqrt{x^2+y^2}) d\sigma.
\]
进而
\[
  \oiint_{\Sigma+\Sigma_{1}}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=\iint_{D_{x y}}\left(h^{2}-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi h^{4}.
\]
而$\Sigma_1$的单位法向量为$(0,0,1)$, 我们有
\[
\iint_{\Sigma_{1}}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma_{1}} z^{2} \mathrm{~d} S=\iint_{D_{x y}} h^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi h^{4} .
\]
因此
\[
  \iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=\frac{1}{2} \pi h^{4}-\pi h^{4}=-\frac{1}{2} \pi h^{4}.
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  设函数 $u(x, y, z)$ 和 $v(x, y, z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上具有一阶及二阶连续偏导数，证明
  \[
  \iiint_{\Omega} u \Delta v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\Sigma} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial v}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
\]
其中 $\Sigma$ 是闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面， $\frac{\partial v}{\partial n}$ 为函数 $v(x, y, z)$ 沿 $\Sigma$ 的外法向量的方向导数，符号 $\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ 称为\emph{拉普拉斯} (Laplace) \emph{算子}。
这个公式叫做\emph{格林第一公式}。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}
  因为方向导数
  \[
  \frac{\partial v}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial v}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial v}{\partial z} \cos \gamma,
\]
其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 与 $\cos \gamma$ 是 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的外法向量的方向余弦。 于是曲面积分
\[
  \begin{aligned}
    \oiint_{\Sigma} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S & =\oiint_{\Sigma} u\left(\frac{\partial v}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial v}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial v}{\partial z} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\
  & =\oiint_{\Sigma}\left[\left(u \frac{\partial v}{\partial x}\right) \cos \alpha+\left(u \frac{\partial v}{\partial y}\right) \cos \beta+\left(u \frac{\partial v}{\partial z}\right) \cos \gamma\right] \mathrm{d} S .
\end{aligned}
\]
利用高斯公式， 即得
\[
  \begin{aligned}
    \oiint_{\Sigma} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S & =\iiint_{\Omega}\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(u \frac{\partial v}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(u \frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(u \frac{\partial v}{\partial z}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
  & =\iiint_{\Omega} u \Delta v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial v}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z,
\end{aligned}
\]
将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式。
\end{solution}
\end{frame}



\section{沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件}

\begin{frame}
现在提出与第三节第二目所讨论的问题相类似的问题，这就是： 在怎样的条件下，曲面积分
\[
\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
\]
与曲面 $\Sigma$ 无关而只取决于 $\Sigma$ 的边界曲线? 这问题相当于在怎样的条件下， 沿任意闭曲面的曲面积分为零? 这问题可用高斯公式来解决。

~

先介绍空间二维单连通区域及一维单连通区域的概念。 对空间区域 $G$, 如果 $G$ 内任一闭曲面所围成的区域全属于 $G$, 则称 $G$ 是\emph{空间二维单连通区域}; 如果 $G$ 内任一闭曲线总可以张成一片完全属于 $G$ 的曲面，则称 $G$ 为\emph{空间一维单连通区域}。 例如球面所围成的区域既是空间二维单连通的， 又是空间一维单连通的; 环面所围成的区域是空间二维单连通的，但不是空间一维单连通的; 两个同心球面之间的区域是空间一维单连通的，但不是空间二维单连通的。

~

对于沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件，我们有以下结论：
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{theorem*}
  设 $G$ 是空间二维单连通区域， 若 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 与 $R(x, y, z)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数， 则曲面积分
  \[
  \iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
\]
在 $G$ 内与所取曲面 $\Sigma$ 无关而只取决于 $\Sigma$ 的边界曲线 (或沿 $G$ 内任一闭曲面的曲面积分为零) 的充分必要条件是
\[\tag{6-4}
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0
\]
在 $G$ 内恒成立。
\end{theorem*}

\begin{proof}
若等式 (6-4) 在 $G$ 内恒成立，则由高斯公式(6-1) 立即可看出沿 $G$ 内的任意闭曲面的曲面积分为零， 因此条件 (6-4) 是充分的。 反之， 设沿 $G$ 内的任一闭曲面的曲面积分为零， 若等式 (6-4) 在 $G$ 内不恒成立， 就是说在 $G$ 内至少有一点 $M_{0}$ 使得
\[
\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)_{M_{0}} \neq 0
\]
仿照第三节第二目中所用的方法， 就可得出 $G$ 内存在着闭曲面使得沿该闭曲面的曲面积分不等于零，这与假设相矛盾。因此条件 (6-4) 是必要的。证毕。
\end{proof}
\end{frame}


\section{通量与散度}

\begin{frame}
设有向量场
\[
\symbf{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \symbf{i}+Q(x, y, z) \symbf{j}+R(x, y, z) \symbf{k},
\]
其中函数 $P, Q$ 与 $R$ 均具有一阶连续偏导数， $\Sigma$ 是场内的一片有向曲面， $n$ 是 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量，则积分
\[
\iint_{\Sigma} \symbf{A} \cdot \symbf{n} \mathrm{d} S
\]
称为向量场 $A$ 通过曲面 $\Sigma$ 向着指定侧的\emph{通量}(或\emph{流量})。

~

由两类曲面积分的关系，通量又可表达为
\[
\iint_{\Sigma} \symbf{A} \cdot \symbf{n} \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} \symbf{A} \cdot \mathrm{d} \symbf{S}=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
\]
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
    求向量场 $\symbf{A}=y z \symbf{j}+z^{2} \symbf{k}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 流向上侧的通量， 其中 $\Sigma$ 为柱面 $y^{2}+z^{2}=1$ ($z \geqslant 0$) 被平面 $x=0$ 及 $x=1$ 截下的有限部分 (图 11-27).
\end{example}
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-48}
    \caption*{图 11-27}
\end{wrapfigure}
曲面 $\Sigma$ 上侧的法向量可以由
\[
f(x, y, z)=y^{2}+z^{2}
\]
的梯度 $\symbf{\nabla} f$ 得出， 即
\[
  \symbf{n}=\frac{\symbf{\nabla} f}{|\symbf{\nabla} f|}=\frac{2 y \symbf{j}+2 z k}{\sqrt{(2 y)^{2}+(2 z)^{2}}}=y \symbf{j}+z k \quad\left(y^{2}+z^{2}=1\right) .
\]
在曲面 $\Sigma$ 上，
\[
\symbf{A} \cdot \symbf{n}=y^{2} z+z^{3}=z\left(y^{2}+z^{2}\right)=z .
\]
因此， $\symbf{A}$ 穿过 $\Sigma$ 流向上侧的通量为
\[
\iint_{\Sigma} \symbf{A} \cdot \symbf{n} \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S=\iint_{D_{x y}} \sqrt{1-y^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 .
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
下面我们来解释高斯公式
\[\tag{6-1}
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V=\oiint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
\]
的物理意义。

~

设在闭区域 $\Omega$ 上有稳定流动的、不可压缩的流体 (假定流体的密度为 $1$) 的速度场
\[
\symbf{v}(x, y, z)=P(x, y, z) \symbf{i}+Q(x, y, z) \symbf{j}+R(x, y, z) \symbf{k},
\]
其中函数 $P, Q$ 与 $R$ 均具有一阶连续偏导数， $\Sigma$ 是闭区域 $\Omega$ 的边界曲面的外侧， $\symbf{n}$ 是曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量，则由第五节第一目知道， 单位时间内流体经过曲面 $\Sigma$ 流向指定侧的流体总质量就是
\[
\iint_{\Sigma} \symbf{v} \cdot \symbf{n} \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} v_{n} \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
\]
因此， 高斯公式 (6-1) 的右端可解释为速度场 $v$ 通过闭曲面 $\Sigma$ 流向外侧的通量， 即流体在单位时间内离开闭区域 $\Omega$ 的总质量。 由于我们假定流体是不可压缩且流动是稳定的， 因此在流体离开 $\Omega$ 的同时， $\Omega$ 内部必须有产生流体的 “源头” 产生出同样多的流体来进行补充。 所以高斯公式 (6-1) 的左端可解释为分布在 $\Omega$ 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。
\end{frame}


\begin{frame}
为简便起见，把高斯公式(6-1) 改写成
\[
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V=\oiint_{\Sigma} v_{n} \mathrm{~d} S
\]
以闭区域 $\Omega$ 的体积 $V$ 除上式两端，得
\[
\frac{1}{V} \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V=\frac{1}{V} \oiint_{\Sigma} v_{n} \mathrm{~d} S
\]
上式左端表示 $\Omega$ 内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。 应用积分中值定理于上式左端， 得
\[
  \left.\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\right|_{(\xi, \eta, \zeta)}=\frac{1}{V} \oiint_{\Sigma} v_{n} \mathrm{~d} S
\]
这里 $(\xi, \eta, \zeta)$ 是 $\Omega$ 内的某个点。令 $\Omega$ 缩向一点 $M(x, y, z)$, 取上式的极限，得
\[
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\lim _{\Omega \rightarrow M} \frac{1}{V} \oiint_{\Sigma} v_{n} \mathrm{~d} S .
\]
上式左端称为速度场 $\symbf{v}$ 在点 $M$ 的\emph{通量密度}或\emph{散度}， 记作 $\operatorname{div} \symbf{v}(M)$, 即
\[
\operatorname{div} \symbf{v}(M)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
\]
\end{frame}

\begin{frame}
  $\operatorname{div} \symbf{v}(M)$ 在这里可看做稳定流动的不可压缩流体在点 $M$ 的\emph{源头强度}。 在 $\operatorname{div} \symbf{v}(M)>0$
  的点处，流体从该点向外发散，表示流体在该点处有正源; 在 $\operatorname{div} \symbf{v}(M)<0$ 的点处， 流体向该点汇聚， 表示流体在该点处有吸收流体的负源 (又称为汇或洞) ; 在 $\operatorname{div} \symbf{v}(M)=0$的点处，表示流体在该点处无源。

  ~

对于一般的向量场
\[
  \symbf{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \symbf{i}+Q(x, y, z) \symbf{j}+R(x, y, z) \symbf{k},
\]
$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 叫做向量场 $\symbf{A}$ 的散度， 记作 $\operatorname{div} \symbf{A}$, 即
\[
  \operatorname{div} \symbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
\]
利用向量微分算子 $\symbf{\nabla}, \symbf{A}$ 的散度 $\operatorname{div} \symbf{A}$ 也可表达为 $\symbf{\nabla} \cdot \symbf{A}$, 即
\[
\operatorname{div} \symbf{A}=\symbf{\nabla} \cdot \symbf{A} .
\]

~

如果向量场 $\symbf{A}$ 的散度 $\operatorname{div} \symbf{A}$ 处处为零，那么称向量场 $\symbf{A}$ 为\emph{无源场}。

\end{frame}


\begin{frame}


\begin{example}
  求例 4 中的向量场 $\symbf{A}$ 的散度。
\end{example}

\begin{solution}
  $\operatorname{div} \symbf{A} =\symbf{\nabla} \cdot \symbf{A}=\frac{\partial}{\partial y}(y z)+\frac{\partial}{\partial z}\left(z^{2}\right)=z+2 z=3 z$.
\end{solution}


利用向量场的通量和散度，高斯公式可以写成下面的向量形式
\[\tag{6-5}
\iiint_{\Omega} \operatorname{div} \symbf{A} \mathrm{d} V=\iint_{\Sigma} A_{n} \mathrm{~d} S
\]
或
\[\tag{6-5'}
  \iiint_{\Omega} \symbf{\nabla} \cdot \symbf{A} \mathrm{~d} V=\iint_{\Sigma} A_{n} \mathrm{~d} S.
\]

高斯公式 (6-5) 表示： 向量场 $\symbf{A}$ 通过闭曲面 $\Sigma$ 流向外侧的通量等于向量场 $\symbf{A}$ 的散度在闭曲面 $\Sigma$ 所围闭区域 $\Omega$ 上的积分。
\end{frame}

\end{document}
